\subsection{菱形}\label{subsec:czjh1-4-6}

有一组邻边相等的平行四边形叫做\zhongdian{菱形}。

菱形也是一种特殊的平行四边形，所以它除具有平行四边形的所有性质外，也具有一些特殊的性质。

如图 \ref{fig:czjh1-4-24}，$\pxsbx ABCD$ 中， $AB = AD$。 因为 $CD = AB$，
$BC = AD$（平行四边形的对边相等），所以四条边都相等。因此得到：


\begin{dingli}[菱形性质定理1]
    菱形的四条边都相等。
\end{dingli}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-24}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-24}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-25}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-25}
    \end{minipage}
\end{figure}

菱形还有下面性质：

\begin{dingli}[菱形性质定理2]
    菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
\end{dingli}

已知： 菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$ （图 \ref{fig:czjh1-4-25}）。

求证： $AC \perp BD$；
$AC$ 平分 $\angle BAD$ 和 $\angle BCD$；
$BD$ 平分 $\angle ABC$ 和 $\angle ADC$。

\zhengming $\because$ \quad 四边形 $ABCD$ 是菱形，

$\therefore$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $AB = AD$。 \\
    $BO = OD$ （菱形是平行四边形）。
\end{zmtblr}

$\therefore$ \quad 在等腰三角形 $ABD$ 中，
$AC \perp BD$，$AC$ 平分 $\angle BAD$。同理
$AC$ 平分 $\angle BCD$； $BD$ 平分 $\angle ABC$ 和 $\angle ADC$。

要判定一个四边形是菱形，除了根据定义判定外，还可以根据下面的定理：

\begin{dingli}[菱形判定定理1]
    四边都相等的四边形是菱形。
\end{dingli}

\begin{dingli}[菱形判定定理2]
    对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
\end{dingli}


\begin{wrapfigure}[8]{r}{5.5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch4-26}
    \caption{}\label{fig:czjh1-4-26}
\end{wrapfigure}


\liti[0] 已知：矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的垂直平分线与边 $AD$、$BC$ 分别交于 $E$、$F$（图 \ref{fig:czjh1-4-26}）。

求证：四边形 $AFCE$ 是菱形。

\zhengming $\because$ \quad 四边形 $ABCD$ 是矩形，

$\therefore$ \quad $AE \pingxing FC$。

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$。

又 $\because$ \quad $\angle AOE = \angle COF$，$AO = CO$，

$\therefore$ \quad $\triangle AOE \quandeng \triangle COF$。

$\therefore$ \quad $EO = FO$。

$\therefore$ \quad 四边形 $AFCE$ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

又 $\because$ \quad $EF \perp AC$，

$\therefore$ \quad $\pxsbx AFCE$ 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。


\begin{lianxi}

\xiaoti{证明菱形的两个判定定理。}

\xiaoti{从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，如果垂线平分对边，求菱形各角的度数。}

\xiaoti{求证：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。}

\end{lianxi}

